初三数学各章节重要知识点概要

第21章 二次根式

1．二次根式：一般地，式子叫做二次根式.

注意：（1）若这个条件不成立，则 不是二次根式；

（2）是一个重要的非负数，即； ≥0.

2．重要公式：（1）,（2） ；

3．积的算术平方根：

积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；

4．二次根式的乘法法则： .

5．二次根式比较大小的方法：

（1）利用近似值比大小；

（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；

（3）分别平方，然后比大小.

6．商的算术平方根：，

商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

7．二次根式的除法法则：

（1）；（2）；

（3）分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.

8．最简二次根式：

（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；

（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；

（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；

（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.

10．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.

12．二次根式的混合运算：

（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；

（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.

第22章 一元二次方程

1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax²+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.

2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.

3. 一元二次方程根的判别式: 当ax²+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b²-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：

Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；             

4．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x）：

   (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)².

（2）常利用以下相等关系列方程：  第三年=第三年   或  第一年+第二年+第三年=总和.

第23章 旋转

1、概念：

把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．

旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角

2、旋转的性质：

（1）       旋转前后的两个图形是全等形；

（2）       两个对应点到旋转中心的距离相等

（3）       两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角

  3、中心对称：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．

    这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

  4、中心对称的性质：

（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．

    （2）关于中心对称的两个图形是全等图形．

  5、中心对称图形：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

  6、坐标系中的中心对称

第24章 圆

1、（要求深刻理解、熟练运用）

1.垂径定理及推论:                                                                   如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理， 即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”.	几何表达式举例： ∵ CD过圆心 ∵CD⊥AB
3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中） “等角对等弦”； “等弦对等角”； “等角对等弧”； “等弧对等角”； “等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”； “等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.	几何表达式举例： (1) ∵∠AOB=∠COD ∴ AB = CD (2) ∵ AB = CD ∴∠AOB=∠COD （3）……………
4．圆周角定理及推论: （1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半； （2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) （3）“等弧对等角”“等角对等弧”； （4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图) （5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图) （1）          （2）（3）          （4）	几何表达式举例： （1） ∵∠ACB=∠AOB ∴  …………… （2） ∵ AB是直径 ∴ ∠ACB=90° （3） ∵ ∠ACB=90° ∴ AB是直径 （4） ∵ CD=AD=BD ∴ ΔABC是RtΔ
5．圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外 角都等于它的内对角.	几何表达式举例： ∵ ABCD是圆内接四边形 ∴  ∠CDE =∠ABC ∠C+∠A =180°
6．切线的判定与性质定理: 如图：有三个元素，“知二可推一”； 需记忆其中四个定理. （1）经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线； （2）圆的切线垂直于经过切点的半径；	几何表达式举例： （1） ∵OC是半径 ∵OC⊥AB ∴AB是切线 （2） ∵OC是半径 ∵AB是切线 ∴OC⊥AB
9．相交弦定理及其推论: （1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等； （2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项. （1）               （2）	几何表达式举例： （1） ∵PA·PB=PC·PD ∴……… （2） ∵AB是直径 ∵PC⊥AB ∴PC2=PA·PB
11．关于两圆的性质定理: （1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦； （2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.    （1）                   （2）	几何表达式举例： （1） ∵O1，O2是圆心 ∴O1O2垂直平分AB （2） ∵⊙1 、⊙2相切 ∴O1 、A、O2三点一线
12．正多边形的有关计算: （1）中心角an ，半径RN ， 边心距rn ，            边长an ，内角bn ， 边数n； （2）有关计算在RtΔAOC中进行.	公式举例： (1)  an  =； (2)

二  定理：

1．不在一直线上的三个点确定一个圆.

2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.

三  公式：

1.有关的计算：

（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L=；（3）圆的面积S=πR².

（4）扇形面积S_扇形 =；

（5）弓形面积S_弓形 =扇形面积S_AOB±ΔAOB的面积.（如图）

2.圆柱与圆锥的侧面展开图：

（1）圆柱的侧面积：S_圆柱侧 =2πrh；  (r:底面半径；h:圆柱高)

（2）圆锥的侧面积：S_圆锥侧 ==πrR.  （L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）

四  常识：

1． 圆是轴对称和中心对称图形.

2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.

3． 三角形的外心 Û 两边中垂线的交点 Û 三角形的外接圆的圆心；

三角形的内心 Û 两内角平分线的交点 Û 三角形的内切圆的圆心.

4． 直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）

直线与圆相交 Û d＜r ；  直线与圆相切 Û d=r ；  直线与圆相离 Û d＞r.

5． 圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且R≥r）

两圆外离  Û  d＞R+r；   两圆外切  Û  d=R+r； 两圆相交  Û  R-r＜d＜R+r；

两圆内切  Û  d=R-r；   两圆内含  Û  d＜R-r.

6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.

第25章  概率

1、  必然事件、不可能事件、随机事件的区别

2、概率

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率（probability）, 记作P（A）= p.

注意：（1）概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映.

（2）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同.

3、求概率的方法

（1）用列举法求概率（列表法、画树形图法）

（2）用频率估计概率：一大面，可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.

第26章  二次函数

1. 二次函数的一般形式：y=ax²+bx+c.(a≠0)

2. 关于二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax²+bx+c；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c叫二次函数在y轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c）点.

3. y=ax² (a≠0)的特性：当y=ax²+bx+c (a≠0)中的b=0且c=0时二次函数为y=ax² (a≠0);

这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性：

（1）图象关于y轴对称；（2）顶点（0，0）；                                                                                                                         

4．求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax²+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值, 从而求出解析式-------待定系数法.

5．二次函数的顶点式： y=a(x-h)²+k  (a≠0)； 由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h, k），对称轴方程 x=h 和函数的最值  y_最值= k.

6．求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（h,k）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x -h)²+ k，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式.

7. 二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象的平行移动；y=a(x-h)²+k的图象平行移动时，改变的是h, k的值, a值不变，具体规律如下：

k值增大 <=> 图象向上平移；             k值减小  <=>  图象向下平移；

（x-h）值增大 <=> 图象向左平移；         (x-h)值减小  <=>  图象向右平移.

8. 二次函数y=ax²+bx+c (a≠0)的图象及几个重要点的公式：

9. 二次函数y=ax²+bx+c  (a≠0)中，a、b、c与Δ的符号与图象的关系：

(1)  a＞0 <=>  抛物线开口向上； a＜0 <=> 抛物线开口向下；

(2)  c＞0 <=>  抛物线从原点上方通过； c=0 <=> 抛物线从原点通过；

c＜0 <=>  抛物线从原点下方通过；

(3)  a, b异号 <=> 对称轴在y轴的右侧； a, b同号 <=> 对称轴在y轴的左侧；

b=0  <=>  对称轴是y轴；

(4)  b²－4ac＞0  <=>  抛物线与x轴有两个交点；

b²－4ac =0   <=>  抛物线与x轴有一个交点（即相切）；

b²－4ac＜0  <=>  抛物线与x轴无交点.

10．二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上.

第27章  相似形    （要求深刻理解、熟练运用）

1“平行出比例”定理及逆定理： （1）平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例；                     （1）（3）             （2）				几何表达式举例： (1) ∵DE∥BC  ∴ (2) ∵DE∥BC  ∴ (3) ∵  ∴DE∥BC
2．比例的基本性质： a:b=c:d  Û    Û  ad=bc ；
3．定理：“平行”出相似 平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.					几何表达式举例： ∵DE∥BC ∴ΔADE∽ΔABC
4．定理：“AA”出相似 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.					几何表达式举例： ∵∠A=∠A 又∵∠AED=∠ACB ∴ΔADE∽ΔABC
5．定理：“SAS”出相似 如果一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.					几何表达式举例： ∵ 又∵∠A=∠A ∴ΔADE∽ΔABC
6．“双垂” 出相似及射影定理： （1）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； （2）双垂图形中，两条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项，斜边上的高是它分斜边所成两条线段的比例中项.					几何表达式举例： (1) ∵AC⊥CB 又∵CD⊥AB ∴ΔACD∽ΔCBD∽ΔABC (2) ∵AC⊥CB CD⊥AB ∴AC2=AD·AB BC2=BD·BA DC2=DA·DB
7．相似三角形性质： （1）相似三角形对应角相等，对应边成比例； （2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线、周长的比都等于相似比； （3）相似三角形面积的比，等于相似比的平方.
(1) ∵ΔABC∽ΔEFG ∴ ∠BAC=∠FEG	(2) ∵ΔABC∽ΔEFG 又∵AD、EH是对应中线 ∴		(3) ∵ΔABC∽ΔEFG ∴

三  常识：

1．三角形中，作平行线构造相似形和已知中点构造中位线是常用辅助线.

2．相似形有传递性；即：  ∵Δ₁∽Δ₂  Δ₂∽Δ₃   ∴Δ₁∽Δ₃

四、位似

1、位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，且每组对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．

2、掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．

3、位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．

4、利用位似，可以将一个图形放大或缩小．作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．

第28章  解三角形

1.三角函数的定义：在RtΔABC中,如∠C=90°，那么

sinA=；      cosA=；tanA=；      cotA=.

2．余角三角函数关系  ------  “正余互化公式” 如∠A+∠B=90°, 那么：

sinA=cosB；    cosA=sinB；    tanA=cotB；     cotA=tanB.

3. 同角三角函数关系：

sin²A+cos²A =1；    tanA·cotA =1.   tanA= 

4. 函数的增减性：在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大，函数值增大；余弦，余切函数随角的增大，函数值反而减小.

5．特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形，通过设k, 它可以推出特殊角的直角三角函数值，要熟练记忆它们.  

∠A	30°	45°	60°
sinA
cosA
tanA		1
cotA		1

6.解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应该有一个是边.

7．坡度： i = 1:m = h/l = tanα；  坡角: α.               8. 方位角：

9．仰角与俯角：