新课指南

1.知识与技能:掌握整式乘法的平方差公式、完全平方公式和(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab公式，通过公式运用，培养学生运用公式的计算能力.

2.过程与方法：经历探索平方差公式、完全平方公式和公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的过程，培养学生研究问题和探索规律的方法.

3.情感态度与价值观：(1)通过从多项式的乘法到乘法公式，再运用公式计算多项式的乘法，培养学生从一般到特殊，再从特殊到一般的思维能力；(2)通过乘法公式的几何背景，培养学生运用数形结合的思想方法和整体的数学思想方法的能力.

4.重点与难点：重点是掌握公式(a+b)(a-b)=a²-b²,(a±b)²=a²±2ab+b².难点是公式中字母的广泛含义.

教材解读  精华要义

数学与生活

如图15－16所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，

(1)请表示图15－16(1)中阴影部分的面积；

(2)某同学将阴影部分拼成了一个长方形，如图15－16(2)所示，这个长方形的长和宽分别是多少？请你表示出它的面积？

(3)比较(1)(2)的结果，你能发现什么？

思考讨论  由图15－16(1)可知，阴影部分的面积为(a²-b²)，由图15－16(2)可知，拼成长方形的长为(a+b),宽为(a-b),其面积为(a+b)(a-b)，由于图(2)是由图(1)拼成的，故两图面积相等，所以有(a+b)(a-b)=a²-b²那么如何证明呢？

知识详解

知识点1  平方差公式及其导出

平方差公式是指(a+b)(a-b)=a²-b².

这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.

课本中本节的开始是先让同学们做几个多项式相乘的小题.

经过计算，同学们首先发现，四个小题所得到的结果有惊人的相同之处：每个小题的结果都只含有两项，而且都可以写成两个数的平方差形式.

为什么会有这些相同之处呢？同学们会想到，这是由于每个小题中的两个多项式都有非常特殊的关联：它们的第一项都相同，第二项的绝对值相同，但是符号相反.

归纳类似的多项式相乘的式子，就得到了平方差公式(a+b)(a-b)=a²-a².

直接计算也可以得到这个公式：(a+b)(a-b)=a²-ab+ab-b²=a²-b².

【注意】 a,b仅仅是一个符号，它们可以表示数，也可以表示式子（单项式、多项式等），只是它们的和与差的积，一定等于它们的平方差.

认识公式的特征至关重要.

平方差公式的特征：公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差.

知识规律小结  （1）在应用公式(a+b)(a-b)=a²-b²时，需仔细识别公式中的a与b，例如：(2x+3)(2x-3)中，把2x看成a，3看成b；(-m+2n)(-m-2n)中，把-m看成a，2n看成b；(3a-2b)(-3a-2b)中,把-2b看成a,3a看成b，因此有：

(2x+3)(2x-3)=(2x)²-3²=4x²-9；

(-m+2n)(-m-2n)=(-m)²-(2n)²=m²-4n²；

(3a-2b)(-3a-2b)=(-2b)²-(3a)²=4b²-9a².

(2)在51×49中，a==50，b==1，

∴51×49=(50+1)(50-1)=50²-1²=2499.

知识点2  完全平方公式及其推导