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第4课时 函数的奇偶性
1．奇偶性：
① 定义：如果对于函数f (x)定义域内的任意x都有 ，则称f (x)为奇函数；若 ，则称f (x)为偶函数. 如果函数f (x)不具有上述性质，则f (x)不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x) .
② 简单性质：
1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.
2） 函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称.
2．与函数周期有关的结论：
①已知条件中如果出现 、或 （ 、 均为非零常数， ），都可以得出 的周期为 ；
② 的图象关于点 中心对称或的图象关于直线 轴对称，均可以得到周期
例1. 判断下列函数的奇偶性.
（1）f(x)= ;
(2)f(x)=log2(x+ ) (x∈R);
(3)f(x)=lg|x-2|.
解：（1）∵x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±1,即f(x)的定义域是{-1，1}.
∵f（1）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),
故f(x)既是奇函数又是偶函数.
（2）方法一 易知f(x)的定义域为R，
又∵f(-x)=log2［-x+ ］=log2 =-log2(x+)=-f(x),
∴f(x)是奇函数. |
