数学归纳法解题

数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.

●难点磁场

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·2²+2·3²+…+n(n+1)²=(an²+bn+c).

●案例探究

［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N^*且a、b、c互不相等时，均有：aⁿ+cⁿ＞2bⁿ.

命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.

知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.

错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.

技巧与方法：本题中使用到结论：(a^k－c^k)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而a^k+1+c^k+1＞a^k·c+c^k·a.

证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)

∴aⁿ+cⁿ=+bⁿqⁿ=bⁿ(+qⁿ)＞2bⁿ

(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞()ⁿ(n≥2且n∈N^*)

下面用数学归纳法证明：

①当n=2时，由2(a²+c²)＞(a+c)²，∴

②设n=k时成立，即

则当n=k+1时， (a^k+1+c^k+1+a^k+1+c^k+1)

＞(a^k+1+c^k+1+a^k·c+c^k·a)=(a^k+c^k)(a+c)

＞()^k·()=()^k+1

［例2］在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，a_n,S_n,S_n－成等比数列.