数乘向量及坐标运算

●考试目标  主词填空

1.实数与向量的积

a与λa同向的充要条件是λ>0.

a与λa反向的充要条件是λ<0.

λ·(a+b)=λa+λb

λ·(a-b)=λa-λb

设a=(x,y),则λa=(λx,λy).

2.向量的坐标运算

设a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂)a+b=,a-b=,a=bx₁=x₂且y₁-y₂,

a∥b(a≠0,b≠0)x₁y₂-x₂y₁=0.

3.三点共线的充要条件

A、B、C三点共线存在λ∈R,使=λ.

4.平面向量的基本定理

如果e₁,e₂是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a有且只有一对数λ₁,λ₂,使a=λ₁e₁+λ₂e₂.

●题型示例  点津归纳

【例1】  设e₁、e₂是不共线的向量，已知向量=2e₁+ke₂,=e₁+3e₂,=2e₁-e₂,若A、B、D三点共线，求k值.

【解前点津】  因A、B、D三点共线，故存在实数λ,使=λ由此等式可得关于λ,k的方程组，从而可求得k值.

【规范解答】  由条件得:=-=(2e₁-e₂)-(e₁+3e₂)=e₁-4e₂.

因A、B、D三点共线，故存在实数λ,使=λ,所以2e₁+ke₂=λ(e₁-e₂)λ=2且k=-4λ,∴k=-8.

【解后归纳】  利用两个向量共线的充要条件列方程是常用方法.

例2题图

【例2】  一艘船以5 km/h速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方

向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度.

【解前点津】  用向量分别表示水流速度，船向垂直于对岸行驶的速度，

船实际速度，将这三个向量的始点归结在一处,利用图形特点求解.

【规范解答】  如图，表示水流速度，表示船向垂直于对岸行驶的

速度,表示船实际速度，∠AOC=30°,||=5 km/h.