11.4 点到直线的距离

                           上海市控江中学  曾国光

一．         教学内容分析[来源:学&科&网]

“点到直线的距离”是“坐标平面上的直线”一章的最后一节内容.作为直线方程和向量方法的应用，教材中，点P（x₀,y₀）到直线l:Ax+By+C=0的距离公式的推导经过了以下过程：（1）作出距离PQ，（2）利用向量的数量积，根据，利用Q点在直线l上，求出PQ，得到公式.

在推导过程中，有两个要点：一是应用数量积的几何意义计算两点之间的距离；二是应用“若点在直线上，则点的坐标满足直线方程”进行整体代换.应用向量的方法，运算比较简捷，在此体现了向量方法的优势.

然而，解析几何的核心思想，是通过用方程表示曲线，通过研究方程的解的情况反映曲线的几何性质，所以面对“如何求点P(x₀,y₀)到直线l:Ax+By+C=0的距离”这个问题，一个基本的解题思路是：写出直线 PQ的方程，求出直线 PQ与直线l的交点Q的坐标，最后求出|PQ|的长度.其中，解方程组，求 Q点坐标是关键，有行列式知识做铺垫，这个问题应该可以迎刃而解.

教材放弃这个方法，体现了教材编写者突出向量应用的思路.但向量法显得技巧性强，需要较高的数学思维能力.在选择向量的过程中，有些问题如“为什么选择向量？用向量可以算出结果吗？”等，在教学时往往一时难以清楚回答.另外，在有行列式知识背景的前提下，解方程已经变得机械而且简单，所以放弃方程，与学生的认知基础有一定的差距.但是，作为教材，也不可能就同一个问题罗列两种解法，这是一种两难的选择.

这也给教师的教学设计造成了困惑，是突出方程思想，还是突出向量思想？如何处理？如何选择？才能既符合学生认知特点，又能体现新教材的特点.

二．         教学目标设计

1．  通过学习，学会推导点到直线的距离公式并掌握点到直线的距离公式.