压轴题

一、解答题

1．（2010年广州中考数学模拟试题一）如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N。

　　（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；

　　（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

A

B

C

N

P

M

O

x

y

x=1

第1题图

　　（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由。

答案：（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90⁰，

　　∴四边形OBNM为矩形。

　　∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=90⁰

　　∵ ，AO=BO=1，

　　∴AM=PM。

　　∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM，

　　∴OM=PN，

　　∵∠OPC=90⁰，

　　∴∠OPM+CPN=90^0，

　　又∵∠OPM+∠POM=90⁰　　∴∠CPN=∠POM，

　　∴△OPM≌△PCN.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　（2）∵AM=PM=APsin45⁰= ，