求阴影部分图形面积新题型

    近年来的中考数学试卷中，围绕图形面积的知识，出现了一批考查应用与创新能力的新题型，归纳起来主要有：

    一、规律探究型

    例1  宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用（设图中圆的半径均为r）．

（1）如图1，分别以线段O₁O₂的两个端点为圆心，以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案，试求两圆相交部分的面积．

    （2）如图2，分别以等边△O₁O₂O₃的三个顶点为圆心，以其边长为半径，作出三个两两相交的相同的圆，这时，这三个圆相交部分的面积又是多少呢？

    （3）如图3，分别以正方形O₁O₂O₃O₄的四个顶点为圆心，以其边长为半径作四个相同的圆，则这四个圆的相交部分的面积又是多少呢？（2005年黄冈市中考题）

    分析  （1）利用“S_阴=S_菱形AO1BO2=4S_弓形”即可；（2）利用“S_阴=S_△O1O2O3+3S_弓”即可；（3）直接求解比较困难，可利用求补法，即“S_阴=S_{正方形O1O2O3O4}-S_空白”，考虑到四个圆半径相同，若延长O₂O­₁交⊙O₁于A，则S_空白=4S_O1AB，由（1）根据对称性可求S_O1BO4，再由“S_O1AB=S_扇形AO1O4-S_{O1BO4”，这样}S_空白可求．

    解答  （1）设两圆交于A、B两点，连结O₁A，O₂A，O₁B，O₂B．

    则S_阴=S_菱形AO1BO2+4S_弓．

    ∵S_菱形=2S_△AO1O2，△O₁O₂A为正△，其边长为r．

    ∴S_△AO1O2=r²，S_弓=-r²=-r²．

    ∴S_阴=2×r²+4（r²-r²）=r²-r²．