（15）整数的分类

【知识精读】

1．  余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数，

r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。

即：在整数集合中　　被除数＝除数×商＋余数 (0≤余数<除数)

例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1　

（∵－1＝5（－1）＋4。　　－9＝5（－2）＋1。）

2．  显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。

例如 整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。

3．  整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。例如：

m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝　（k为整数）

m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝.

   或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。

m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝

  或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝，　　其中5k－2表示除以5余3。

4．  余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。

举例如下：

①（3k₁+1）+(3k₂+1)=3(k₁+k₂)+2 　　（余数1＋1＝2）