（9）二元一次方程的整数解

【知识精读】

1，  二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，

若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即

如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解

显然a,b互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1,　 5x-2y=7,　 9x+3y=6都有整数解。

返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，

∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。

一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。

2，  二元一次方程整数解的求法：

若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。

方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解

解：x= =  (1) , 

      设 是整数），则y=1-5k (2) ,　　

把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2

∴原方程所有的整数解是 （k是整数）