1.奇偶性问题
奇奇=偶奇×奇=奇
奇偶=奇奇×偶=偶
偶偶=偶偶×偶=偶
2.位值原则
形如:=100a+10b+c
3.数的整除特征
4.整除性质
①如果c|a、c|b,那么c|(ab)。
②如果bc|a,那么b|a,c|a.
③如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a.
④如果c|b,b|a,那么c|a.
⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
5.带余除法
一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r,0≤r<b,使得a=b×q+r
当r=0时,我们称a能被b整除。
当r≠0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r<ba=b×q+r
6.唯一分解定理
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即
n=p1×p2×……×pk
7.约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×……×pk那么:
n的约数个数:d(n)=(a1+1)(a2+1)……(ak+1)
n的所有约数和:(1+P1+P1+…p1)(1+P2+P2+…p2)…(1+Pk+Pk+…pk)
8.同余定理
①同余定义:若两个整数a,b被自然数m除有相同的余数,那么称a,b对于模m同余,用式子表示为a≡b(modm)
②若两个数a,b除以同一个数c得到的余数相同,则a,b的差一定能被c整除。
③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
9.完全平方数性质
①平方差:A-B=(A+B)(A-B),其中我们还得注意A+B,A-B同奇偶性。
②约数:约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
③质因数分解:把数字分解,使他满足积是平方数。
④平方和。
10.孙子定理(中国剩余定理)
11.辗转相除法
12.数论解题的常用方法
枚举、归纳、反证、构造、配对、估计 |