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函 数
1.专题综述
函数是高考数学的重要内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，通过对2011年新课标卷的各省高考题的研究发现，本专题热点考点可总结为六类：一是分段函数的求值问题，二是函数的性质及其应用，三是基本函数的图像和性质，四是函数图像的应用，五是方程根的问题，六是函数的零点问题。涉及到得函数思想也是相当的丰富，如分段函数问题常与分类讨论思想相结合，有关方程根的情况判断常涉及函数与方程思想和等等价转化思想，研究函数的图像问题和基本函数的性质时常利用数形结合思想等。高考常命制两道小题，一道基础题目，出现在前5道题目中，常考查基本函数的性质或零点问题，另一道常以压轴的小题出现，常与方程的根或复合函数为背景考查，有一定的难度和灵活性。
2．考纲解读
（1）了解简单的分段函数并能简单应用；
（2）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，结合具体函数了解奇偶性的含义 ；
（3）理解指数（对数）函数的概念，理解指数（对数）函数的单调性，掌握指数（对数）函数图像经过的特殊点；结合常见的幂函数图像解决简单问题；掌握二次函数的三个表达形式，能够数形结合分析二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系。
（4）会应用函数图像理解和研究函数的性质；
（5）根据具体函数的图像，能够运用二分法求相应方程的近似解；
（6）结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。
3 .2012年高考命题趋向
（1）以分段函数为表示形式考查求值问题是一类基础题目，常与指对数运算结合在一起，同时也考查学生能否 灵活运用分类讨论思想的解题能力。
（2）以二次函数、分段函数、对数函数等为载体考查函数的性质是热点。研究函数的性质可充分利用函数的各种性质所反映的函数特点，来解决函数的相关问题.命题思路常以函数的各种性质相互交融，只有仔细审题，充分挖掘，把题目隐含的条件一一挖掘出来，综合利用性质才能达到解决问题的目的.
（3）与指数（对数）函数有关的综合问题的考查，以函数某个性质为核心，结合其他知识，把问题延伸，主要考查知识的综合运用和能力发展为目的.[来源:Z,xx,k.Com]
（4）函数图象的考查涉及的知识面广，形式灵活，经常以新面孔出现，在基本的初等函数图象熟练地掌握基础上，加以变换考查新函数的图象、性质等.
（5）利用转化思想解决方程问题，利用函数与方程思想解决函数应用问题，利用数形结合思想研究方程根的分布问题，是高考的热点和难点，常作为压轴的选择题的形式出现。
（6）函数的零点，二分法是新增内容，在高考中以选择题、填空题的形式考查的可能性较大。对于用二分法求方程的近似解应引起重视，由于步骤的可重复性，故可与程序框图相机合编写部分题目，这也是算法思想的的具体体现。解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．
4．高频考点解读
考点一 分段函数求值问题
【例1】[2011·福建卷] 已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】A
【解析】 由已知，得f(1)＝2；又当x>0时，f(x)＝2x>1，而f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－2，且a<0，∴a＋1＝－2，解得a＝－3，故选A.
【例2】[2011·陕西卷] 设f(x)＝则f(f(－2))＝________.
【答案】－2
【解析】 f(x)＝ －2<0， f(－2)＝10－2；10－2>0，f(10－2)＝lg10－2＝－2.
【解题技巧点睛】求f(g(x))类型的函数值时,应遵循先内后外的原则,而对于分段函数的求值问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解,特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性.
考点二 函数性质的基本应用
【例3】[2011·课标全国卷] 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
【答案】B
【解析】 A选项中，函数y＝x3是奇函数；B选项中，y＝＋1是偶函数，且在上是增函数；C选项中，y＝－x2＋1是偶函数，但在上是减函数；D选项中，y＝2－|x|＝|x|是偶函数，但在上是减函数．故选B.
【例4】[2011·辽宁卷] 若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )
A. B. C. D．1
【答案】A
【解析】 法一：由已知得f(x)＝定义域关于原点对称，由于该函数定义域为，知a＝，故选A.
法二：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)＝，
则＝,因函数的定义域内恒成立，可得 a＝.
【例5】【2011 新课标全国】函数 的图像与函数 （ ）的图像所有交点的横坐标之和等于( )．
A．2 B．4 C．6 D．8
 【解题技巧点睛】在解决与函数性质有关的问题中,如果结合函数的性质画出函数的简图,根据简图进一步研究函数的性质,就可以把抽象问题变得直观形象、复杂问题变得简单明了,对问题的解决有很大的帮助. (1)一般的解题步骤:利用函数的周期性把大数变小或小数变大,然后利用函数的奇偶性调整正负号,最后利用函数的单调性判断大小; (2)画函数草图的步骤:由已知条件确定特殊点的位置,然后利用单调性确定一段区间的图象,再利用奇偶性确定对称区间的图象,最后利用周期性确定整个定义域内的图象.
考点三 基本函数的性质与图像
【例6】[2011·天津卷] 已知 则( )．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据对数函数的运算性质可知： 再由指数函数
 为单调递增函数，因为 ． ，
 ，且 ，所以．
 【例7】[2011·天津卷] 对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－ x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )
A．(－∞，－2]∪ B．(－∞，－2]∪
C.∪ D.∪
【答案】B
【解析】本题考查二次函数的性质和图像。
f(x)＝＝
则f的图象如图：
∵y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，
∴y＝f(x)与y, ＝c的图象恰有两个公共点，
由图象知c≤－2，或－1<c<－.
考点四 函数图像的应用
【例8】[2011·陕西卷] 设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图像可能是( )
【答案】B
【解析】 由f(－x)＝f(x)可知函数为偶函数，其图像关于y轴对称，可以结合选项排除A、C，再利用f(x＋2)＝f(x)，可知函数为周期函数，且T＝2，必满足f(4)＝f(2)，排除D，故只能选B.
【例9】 [2011·课标全国卷] 已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图像与函数y＝|lgx|的图像的交点共有( )
A．10个 B．9个 C．8个 D．1个
【答案】A
【解析】考查数形结合思想，在同一直角坐标系中作出两个函数的图像，故下图．容易判断出两函数图像的交点个数为10个，故选择 ．
【解题技巧点睛】函数图象分析类试题，主要就是推证函数的性质，然后根据函数的性质、特殊点的函数值以及图象的实际作出判断，这类试题在考查函数图象的同时重点是考查探究函数性质、用函数性质分析问题和解决问题的能力．利用导数研究函数的性质、对函数图象作出分析判断类的试题，已经逐渐成为高考的一个命题热点。
考点五 与方程根的相关问题
【例10】【2011陕西】设 ,一元二次方程 有整数根的充要条件是
 = ．
【答案】 3或4．
【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．  ，因为 是整数，即 为整数，所以 为整数，且 ，又因为，取 ，验证可知 符合题意；反之时，可推出一元二次方程 有整数根．
【例11】[2011·北京卷] 已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
【答案】(0,1)
【解析】 单调递减且值域为(0,1]， 单调递增
且值域为 ，函数f(x)的图象如图所示，故 有两个不同的实根，则实数
k的取值范围是（0,1）．
考点六 函数零点问题
【例12】[2011·课标全国卷] 在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
 【答案】C
【解析】 因为f＝e－2<0，f＝e－1>0，所以f·f<0，
又因为函数y＝ex是单调增函数，y＝4x－3也是单调增函数，
所以函数f(x)＝ex＋4x－3是单调增函数，
所以函数f(x)＝ex＋4x－3的零点在内．[来源:学科网ZXXK]
【例13】[2011·山东卷] 已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.
【答案】 2
 【解析】 本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用．因为2<a<3，所以loga2<1＝logaaa3，因为3<b<4，所以b－2>1>loga2，b－3<1a3，所以f(2)·f(3)＝(loga2＋2－b)(loga3＋3－b)<0，所以函数的零点在(2,3)上，所以n＝2.
【例14】 [2011·陕西卷] 函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内( )
A．没有零点 B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
【答案】B
【解析】 在同一个坐标系中作出y＝与y＝cosx的图象如图，
由图象可得函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)上只有一个零点．
【解题技巧点睛】判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体问题灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理进行判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．
针对 训练
一．选择题
1.【北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试】
已知函数 ，其图象上两点的横坐标 ， 满足 ,
且 ,则有 ( )
A． B． 
C． D． 的大小不确定
答案：C
解析：
因为所以 , 
2.【2012年长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题卷】
“ ”是“函数 在区间 上存在零点”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件[来源:学科网]
答案：A
解析：在区间上存在零点，则 ，即 ，∴ 或 ，∴“”是“或”的充分不必要条件，∴“”是“函数在区间上存在零点”的充分不必要条件.
3.【银川一中2012届高三年级第四次月考】
若 ，则函数 的图像大致是( )
 
解析：  函数在定义域为减函数，将函数 故答案为B。
4.【银川一中2012届高三年级第四次月考】
设若  ，则 的值是( )
A. -1 B. 2 C. 1 D.-2
解析：
5.【安徽省示范高中2012届高三第二次联考】
实数 的大小关系正确的是（ ）
A:  B:  C:  D: 
答案：C
解析：根据指数函数和 对数函数的性质， 。
6.【安徽省示范高中2012届高三第二次联考】
函数 在定义域内零点的个数是（ ）
（Ａ）0 （Ｂ）1 （Ｃ）2 （Ｄ）3
答案：D
解析：在同一坐标系中画出函数 与 的图像，可以看到2个函数的图像在第二象限有2个交点，在第一象限有1个交点，所以函数在定义域内有3个零点。
7.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】
若函数 在 上有零点，则 的取值范围为（ ）
A.  B.  C.  D. 
解析： 由函数
 得在上的最大值是 ，最小值是
所以 ，解得 .
8.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】[来源:Zxxk.Com]
已知 是奇函数，且 ，当 时， ，则当 时 （ ）
A.  B.  C.  D. 
解析： 由是奇函数，且，得 ，所以函数的周期
又因为当时，，所以当 时， ，因为函数是奇函数，所以当时 .
9.【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】
 已知函数 则关于的方程 ，给出下列四个命题：
①存在实数 ，使得方程恰有1个不同实根；②存在实数，使得方程恰有2个不同实根；③存在实数，使得方程恰有3个不同实根；④存在实数，使得方程恰有4个不同实根；其中假命题的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：C
解析： 当 当
当 是增函数， 是减函数，由得
方程 解的个数即 与 的图像交点的个数，由图像得当 有1个解；当 有2解。
10.【2012年长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题卷】
设是定义在 上的增函数，且对于任意的都有 恒成立. 如果实数 满足不等式组 ，那么 的取值范围是
A.(3, 7) B.(9, 25) C.(13, 49) D. (9, 49) [来源:学。科。网Z。X。X。K]
答案：C
 解析：由得 ，
又 ，∴ ，∴ .
∵是上的增函数，∴ ＜ ，
∴
又 ，结合图象知 为半圆 内的点到原点的距离，故 ，∴
二．填空题
11.【2012年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷】
若 为奇函数，则实数 .
解析：
12.【北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试】
已知函数 若方程 有解，则实数的取值范围是 __ _．
答案：
解析： 若方程有解，即函数的值域即为的范围，故实数的取值范围是
13.【2012年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷】
函数 的最大值为 .
解析：  因对号函数 在区间[1,2]上单调递减，故当 时函数取得最大值为5.
14.【2012年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷】
若不等式 对 恒成立，则实数的取值范围是 .
解析： 
15.【北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试】
设函数  的定义域为 ，其中 ．若函数在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，则在区间 上的最大值与最小值的和为__ _．
答案：  或
解析： 令  在区间上的最大值为 ，最小值为 ，因为偶函数，故在区间上的最大值与最小值为6和3，和为9；令  图象关于（0,1）点对称，设在区间上的最大值与最小值为，则有 故
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