21．2 二次根式的乘除

第2课时

 【教学内容】

    =（a≥0，b>0），反过来=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

 【教学目标】

1、 知识与技能

掌握二次根式的除法法则，二次根式的除法运算和二次根式的化简。

理解最简二次根式的概念

2、过程与方法

   利用具体数据，通过学生练习比较、猜想、论证二次根式的除法运算法则。

   通过计算和化简掌握二次根式的除法运算法则、逆向思维运用逆向等式。

3、情感、态度与价值观

   通过二次根式的计算和化简，培养学生对根式的运算兴趣，并掌握运算的技巧。

 【教学重难点关键】

1．重点：

理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

2．难点：

二次根式的除法运算公式的双向使用

3、关键

发现规律，归纳出二次根式的除法法则．

【教学过程】

一、创设情境，导入新课

1、二次根式的乘法法则是什么？完成下列填空：

(1) =                    =                  

(2) 若，则a          , b             。

二次根式可以进行乘法运算，能否进行除法运算呢？

2、已知一个三角形的面积为cm²，一条边长为cm，求这条边上的高。

析：2×÷

二、合作交流，探究新知

（一）二次根式的除法

[探究]1、计算下列各式，观察结果，你发现了什么规律？   

（1）=            =        

（2）=            =        

（3）=________，=________．

2、用你发现的规律填空，并用计算器计算填空:

    (1)               (2) _____ 

[猜想]二次根式的除法法则：

一般地，对于二次根式的除法规定：=（a≥0，b>0），

你能用文字语言叙述这一法则吗？

二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。

[注意] 二次根式除法法则中b的取值范围！

[试一试]（例4）计算：

(1)      (2) ÷

分析：利用=（a≥0，b>0）便可直接得出答案．

解：(1)

（2）÷=

[做一做]计算：

(1)    (2)   (3)   (4) ÷ 

(5) ÷（a＞0，b＞0，c＞0，）

答案：(1)  (2)－1 (3) 2 (4)   (5)

(二)商的算术平方根

[思考] 把=（a≥0，b>0），反过来就是，=（a≥0，b>0）

利用它可以进行二次根式的化简。

[试一试]（例5）化简

(1)           (2)

分析：直接利用=（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的

解：(1)    (2)

[注意] (2)中x的取值范围.

[做一做]（例6）计算

(1)      (2)        (3)

分析：利用=（a≥0，b>0）计算，发现被开开方数中的分母不是完全平方数或完全平方式。

解：（1）=还有其他解法吗？

      =

（2）==

（3）=

观察以上各小题的最后结果，可以发现这些式子分母中不含二次根式。

（三）最简二次根式

[定义]如果二次根式有如下两个特点：(1) 被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。那么我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

[说明] 1、最简二次根式必须满足两个条件(1) 被开方数不含分母或小数；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

2、二次根式的计算或化简的结果，一般都要化成最简二次根式。

[想一想]判断下列二次根式，哪些是最简二次根式

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  (7)

分析：利用定义即可判断(4)(5)(6)是最简二次根式。

[探究]（教材第11页例7）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长。

[分析]本题很容易想到运用勾股定理，关键就是计算。

[解]∵AB²=AC²+BC² ∴AB=(cm)

∴AB的长为6.5cm.

[思考]现在可以解决本章引言的问题了。

式子

三、应用迁移、巩固提高

   [练一练]（教材第11页练习）

   [试一试]已知，且x为偶数，求（1+x）的值．

分析：式子=，只有a≥0，b>0时才能成立．

因此得到9-x≥0且x-6>0，即6≤9，又因为x为偶数，所以x=8．

    解：由题意得，即    ∴6≤9    ∵x为偶数   ∴x=8

    ∴原式=(1+x) =(1+x)=(1+x)=

    ∴当x=8时，原式的值==6．

    四、总结反思、拓展升华

1、本节课学习的数学知识是：

二次根式的除法，掌握=（a≥0，b>0）及其运用

商的算术平方根，掌握=（a≥0，b>0）及其运用．

最简二次根式

2、本节课学习的数学方法是将二次根式化为最简二次根式。二次根式化简口诀：

根内分母要跳墙，分解之后“指配双”，

跳出墙外要注意，仍要写在分母上。

    五、布置作业

    1．教材P₁₂  习题21.2 中的2、7、8、9．

2．选用课时作业设计．

课时作业设计

    一、选择题

    1．计算的结果是（  ）．

      A．      B．       C．       D．

2．阅读下列运算过程：， 

    数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（  ）．

      A．2      B．6      C．       D．

    二、填空题

    1．分母有理化:(1) =_________;(2) =________;(3) =______.

2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．

3．设，，则用a、b的代数式表示应为          

    三、综合提高题

    1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？

    2．计算

    （1）·（-）÷（m>0，n&, , gt;0）

（2）-3÷（）× （a>0）

(3)

   3.已知，，不用计算器求的值。

参考答案:

    一、1．A  2．C

二、1．(1) ;(2) ;(3)

 2．

3．

三、1．设：矩形房梁的宽为x（cm），则长为xcm，依题意，

得：（x）²+x²=（3）²，

4x²=9×15，x=（cm），

x·x=x²=（cm²）．

2．（1）原式＝-÷=-

=-=-

    （2）原式=-2=-2=-a

（3）原式=(－2×1÷)

===

3．∵

又∵ ∴