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第3课时 函数的单调性
一、单调性
1．定义：如果函数y＝f (x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，当x1、<x2时，①都有 ，则称f (x)在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个 ；②都有 ，则称f (x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个 .
若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为 .
2．判断单调性的方法：
(1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ .
(2) 导数法，若函数y＝f (x)在定义域内的某个区间上可导，①若 ，则f (x)在这个区间上是增函数；②若 ，则f (x)在这个区间上是减函数.
二、单调性的有关结论
1．若f (x), g(x)均为增(减)函数，则f (x)＋g(x) 函数；
2．若f (x)为增(减)函数，则－f (x)为 ；
3．互为反函数的两个函数有 的单调性；
4．复合函数y＝f [g(x)]是定义在M上的函数，若f (x)与g(x)的单调相同，则f [g(x)]为 ，若f (x), g(x)的单调性相反，则f [g(x)]为 .
5．奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 .
例1. 已知函数f(x)=ax+ (a＞1)，证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
证明 方法一 任取x1,x2∈(-1,+∞),
不妨设x1＜x2,则x2-x1＞0,  ＞1且 ＞0,
∴ ，又∵x1+1＞0,x2+1＞0,
∴ ＞0,
于是f(x2)-f(x1)= + ＞0,
故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
方法二 f(x)=ax+1- (a＞1), 求导数得 =axln |
