教学内容

师生互动

设计意图

复习引入

前面 对轴上向量 通过单位向量 可以建立与实数的一一对应,从而给出了轴上向量的坐标表示.从而对平面上的任一方向的向量，都可以用相应的轴给出坐标表示，那么能否仅仅使用两条互相垂直的轴 数量化表示平面上所有向量呢?这种表示唯一吗?

让学生回忆轴上向量及其坐标表示相关的概念及思想方法

从一维向二维,从已知到未知，引入新课题

新课探究

借助已经学过的平面直角坐标系.

(1)分别确认x轴和y轴上的单位向量e₁、e₂那么这两条轴上的向量都可以用相应的坐标表示,不同轴上的向量坐标意义不同.例如横轴、纵轴上的向量坐标3分别表示3 e₁、3e₂

(2)与轴不平行的平面向量,可以分解为两个轴上的向量之和.(从而表示成两个基向量的线性组合。即：a=xe₁+ye₂）

(3)取平面上两条互相垂直的单位向量e₁、e₂，那么对该平面内的任意向量a，都存在唯一的一对实数x、y，使a=xe₁+ye₂。

例如 课本103页练习A第一题

证明 课本96页，97页

(4)这里｛e₁，e₂｝叫做这一平面内所有向量的一组正交基底；xe₁+ye₂叫做a关于基底｛e₁，e₂｝的分解式；（x,y）叫做a关于基底｛e₁，e₂｝下的坐标，即a＝（x,y）；x(y)是向量a在横(纵)轴上的正投影向量的在(横纵)轴上的坐标。显然

0=(0,0),e₁=(1,0),e₂=(0,1)

(5)平面直角坐标系中 有序实数对（x,y）就有了双重意义，既表示点(x,y)，又可以表示向量(x,y),叙述中应在前面注明。

(6)容易证明：两个向量和与差的坐标等于两个向量坐标的和与差；数乘向量的坐标等于该数与向量相应坐标的乘积。即：

如果 a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂),   那么

a±b=(x₁±x₂,y₁±y₂),λa=(λx₁,λy₁)

a∥b的充要条件是x₁y₂=x_­2y₁(需要证明)

(7)介绍：任意给定平面中两个不平行的向量e₁、e₂，那么平面中所有向量a都可以用这两个向量表示。即a=xe₁+ye₂.这里x、y是唯一确定的一对有序实数。｛e₁，e₂｝叫做这一平面内所有向量的一组基底；xe₁+ye₂叫做a关于基底｛e₁，e₂｝的分解式.

例如 课本96页图2－34，证明同(3)。

师生共同探究, 对平面上向量的正交分解的存在唯一性,有所感受.确认坐标表示向量的可行性,及其具体表示方法

这里给出了课本97页的两个概念，学生知道这些名词就可以了

向量的直角坐标表示及其运算性质，学生应该容易接受，甚至给出证明。一些学生可能不理解证明的必要性和合法性（不易深究）。

一般学生以了解为主，重在以具体问题为载体，落实基本定理的思想方法（消点法）。

感受正交分解产生的合理性.使学生容易接受平面向量的坐标表示,使部分学生感受数学证明的严谨性和必要性.