集合五问

    集合是现代数学中一个原始的、不加定义的概念。教材上给出“集合”的概念，只是对集合描述性的说明。初次接触集合感到比较抽象，难以把握。实质上，集合元素的三个性质是我们解决集合有关概念问题的重要依据。子集、真子集的定义是解决两个集合之间关系的法宝。下面通过五个问题对同学们容易忽略的知识进行解答，以期对同学们有所帮助。

    一问：你已掌握集合概念中所描述的集合的全体性了吗？

    例1：函数y=x²+x-1的定义域为（       ）。

    ①｛R｝    ②｛一切实数｝    ③ R     ④｛实数｝    ⑤ 实数

A ①②                                     B ②③

C ③④                                     D ④⑤                  

    分析：任何一个实数都能使函数y=x²+x-1有意义，故函数的定义域应为全体实数。所以③正确。R与一切实数都表示一个整体，它们是一个集合，放在大括号内是表示以集合为元素的单元素集，所以①②不正确。④表示实数的全体，正确。⑤表示元素，不正确。

   答案：C

   点评：用符号｛｝表示集合时，它表示大括号内元素的全体。在表示定义域时，大括号内的元素应是使函数有意义的实数，而不应该是一个集合。

    二问：用描述法表示集合时，你注意到代表元素的代表性了吗？

    例2：设集合A=｛x│y=x²-1｝，B=｛y│y=x²-1｝，C=｛（x，y）│y=x²-1｝，D=｛y=x²-1｝

分别写出集合A、B、C、D的意义，A表示                ，B表示                ，C表示                ，D表示                。

    分析：集合表示的是代表元素的全体，竖线后面表示代表元素满足的条件，故A表示自变量x的全体是函数的定义域，B表示因变量y的全体是函数的值域，C表示满足函数的点的全体是函数的图像，D是用列举法表示以方程y=x²-1为元素的单元素集。

    答案：A表示函数的定义域，

          B表示函数的值域，

          C表示函数的图像，

          D表示以方程y=x²-1为元素的单元素集。

    点评：集合的代表元素规定了集合的类型。

    三问：你注意到集合元素的互异性了吗？

    例3：设集合A=｛1，3，a｝，B=｛1，a²－a＋1｝，若BA，求a的值。

    分析：因为BA，所以B中的元素1，a²－a＋1都是A中的元素，但是要考虑到元素的互异性。