6.4反三角函数（2）——反余弦函数、反正切函数

                        上海市交通大学附属中学  曹建华

一、教学内容分析

  根据反函数的概念，余弦函数y=cosx（x∈R）没有反函数.但是如果我们适当选取实数集R的一个子集[0，π]，那么函数y=cosx，x∈[0，π]就存在反函数，为什么要选取[0，π]，教师要引导学生作必要的讨论和说明.类比反正弦函数的定义，我们把函数y=cosx，x∈[0，π]的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx，x∈[-1，1]，学生对符号的arccosx的理解比较困难，前面符号中的x必须满足|x|≤1，arccosx是[0，π]上的一个角的弧度数，这个角的余弦值为x.根据互为反函数间的图像关系，函数y=arccosx，x∈[-1，1]的图像和函数y =cosx，x∈[0，π]的图像应该关于直线y=x对称，这样容易作出反余弦函数的图像，根据其图像可以得到反余弦函数y=arccosx，x∈[-1，1]既不是奇函数也不是偶函数，但是单调递减.类似地，把正切函数y=tanx，x∈（-，）的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx，x∈（-∞，∞），根据互为反函数间的图像关系，函数y=arctanx，x∈（-∞，∞）的图像和函数y = tanx，x∈（-，）的图像应该关于直线y=x对称，这样容易作出反正切函数的图像，根据其图像可以得到反正切函数y= arctanx，x∈（-∞，∞）是奇函数，单调递增.

二、教学目标设计

   1．理解函数y=cosx（x∈R），y=tanx（x≠kπ+，k∈Z）没有反函数；理解函数y=cosx， x∈[0，π]，y=tanx，x∈（-，）有反函数；理解反余弦函数y=arccosx，反正切函数y=arctanx的概念，掌握反余弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[0，π]；反正切函数的定义域是（-∞，∞），值域是（-，）.

   2．知道反余弦函数y=arccosx ，x∈[-1，1]和反正切函数y= arctanx，x∈（-∞，∞）的图像.

   3．掌握等式cos（arccosx）=x，x∈[-1，1]，arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]和tan（arctanx）=x，x∈（-∞，∞），arctan（-x）=- arctanx，x∈（-∞，∞）.

   4．能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值，并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角.