25.圆与圆（二）

知识考点：

1、掌握两圆的内外公切线长的性质和求切线长的方法（转化为解直角三角形）。

2、掌握有关两圆的内、外公切线的基本图形，以及这类问题添加辅助线的方法，会结合圆的切线的性质解决有关两圆公切线的问题。

精典例题：

【例1】如图，⊙O1与⊙O2外切于P，AB是两圆的外公切线，切点为A、B，我们称△PAB为切点三角形，切点三角形具有许多性质，现总结如下：

（1）△PAB是直角三角形，并且∠APB＝900；

（2）△PAB的外接圆与连心线O1O2相切；

（3）以O1O2为直径的圆与Rt△PAB的斜边AB相切；

（4）斜边AB是两圆直径的比例中项；

（5）若⊙O1、⊙O2的半径为、，则PA∶PB∶AB＝∶∶；

（6）内公切线PC平分斜边AB；

（7）△CO1O2为直角三角形。

这些结论虽然在证题时仍需证明，但有了这些基本结论作基础，可帮助你迅速找到解题思路，可以提高解题速度，下面用一个具体的例子来说明。

如图2，⊙A和⊙B外切于P，CD为两圆的外公切线，C、D分别为切点，PT为内公切线，PT与CD相交于点T，延长CP、DP分别与两圆相交于点E、F，又⊙A的半径为9，⊙B的半径为4。

（1）求PT的长；

（2）求证：；

（3）试在图中找出是线段PA和PB比例中项的线段，并加以证明。

分析：图中的基本图形是切点三角形，易证T为CD的中点，∠CPD＝900，PT即为外公切线长的一半，CF、DE分别为两圆直径，且互相平行，问题就解决了。

略解；（1）作BG⊥AC于G，则CD＝BG＝

∴PT＝CT＝TD＝CD＝6

证明（2）PT＝CD，∴∠CPD＝900

∴CF、DE分别是⊙A和⊙B的直径

  又∵CD切两圆于C、D，∴FC⊥CD，ED⊥CD

∴CF∥DE，∴，∴

（3）图中是PA和PB比例中项的线段有PT、CT、DT（证明略）