23.圆中成比例的线段

知识考点：

1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关圆中比例线段问题的有力工具。

2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。

精典例题：

【例1】已知如图，AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2。求：

（1）BC的长；

（2）⊙O的半径。

分析：由题设图形不难可以看出在本题中可综合运用勾股定理、切割线定理、割线定理来解题。

解：（1）设BM＝MN＝NC＝，由切割线定理可得：

即解得：，∴BC＝；

（2）在Rt△ABC中，AC＝

由割线定理可得：

∴

∴

【例2】如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E，求的值。

分析：由切割线定理有，可得直径BC的长，要求，由△ACE∽△ADB得，也就是求CA、BA的长。

解：连结CE

∵PA是⊙O的切线，PBC是⊙O的割线

∴

又PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，BC＝15

∵PA切⊙O于A，∴∠PAB＝∠ACP

又∠P为公共角，△PAB∽△PCA

∴

∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB＝900

∴

∴AC＝，AB＝

又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB

∴△ACE∽△ADB，∴

∴