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f（x）= .
∵f（-x）=- ∴f（x）为偶函数.
（3）x<-1时，f（x）=x+2，-x>1,
∴f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.
x>1时，f（x）=-x+2，
-x<-1，f(-x)=x+2=f(x).
-1≤x≤1时，f（x）=0，-1≤-x≤1，
f（-x）=0=f（x）.
∴对定义域内的每个x都有f（-x）=f（x）.
因此f（x）是偶函数.
2.已知函数y=f(x)的定义域为R，且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立，f(3)=-3.
(1)证明：函数y=f(x)是R上的减函数；
（2）证明：函数y=f(x)是奇函数；
（3）试求函数y=f(x)在［m,n］（m,n∈Z）上的值域.
（1）证明 设 x1，x2∈R，且x1<x2,f(x2)=f［x1+(x2-x1)］=f(x1)+f(x2-x1).
∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)<f(x1).
故f(x)是R上的减函数.
（2）证明 ∵f（a+b）=f（a）+f（b）恒成立，∴可令a=-b=x,则有f（x）+f（-x）=f（0），
又令a=b=0,则有f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.从而x∈R，f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x）.故y=f(x)是奇函数.
（3）解 由于y=f(x)是R上的单调递减函数，
∴y=f（x）在［m，n］上也是减函数，故f(x)在［m，n］上的最大值f(x)max=f(m),最小值f(x)min=f(n).
由于f(n)=f(1+(n-1))=f(1)+f(n-1)=…=nf(1),同理f(m)=mf(1).
又f(3)=3f(1)=-3,∴f(1)=-1,∴f(m)=-m,f(n)=-n.
∴函数y=f(x)在［m,n］上的值域为［-n,-m］.
3.设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈［0， ］都有f（x1+x2）
=f（x1）·f（x2），且f(1)=a>0.
（1）求f()及f( )
（2）证明：f（x）是周期函数；
（3）记an=f(2n+ ，求an.
（1）解 ∵对x1、x2∈ ，
都有f（x1+x2）=f（x1）·f（x2），
∴f（x）=f( ≥0，x∈［0，1］.
∴f（1）=f(
f( .
∵f(1)=a＞0, ∴f( |
