单摆问题

    1.等效单摆

计算摆动物体的周期时，公式一般并不能直接应用，但我们经过一些“等效”，就可以应用了．我们称经过等效处理后能用单摆周期公式计算周期的摆动，叫“等效单摆”．

等效单摆分等效摆长单摆、等效重力加速度单摆，以及摆长、重力加速度双等效单摆三种．等效单摆的周期公式为。

⑴等效摆长单摆

    等效摆长不再是悬点到摆球球心的距离，但g’=g．等效摆长单摆确定等效摆长是解题的关键．确定“等效摆长”，首先找出摆球振动围绕的那个中心，此中心即为等效单摆的悬点，它到摆球重心的距离即为“等效摆长”．

〖例1〗两根长为上的细线下端拴一质量为m的小球，两绳夹角2α，今使摆球在垂直纸面的平面内做小幅度摆动，求其周期．

〖解题思路〗

题示单摆可以看作是以AB的中心为悬点，OO’的长为摆长的单摆，即等效摆长为l=Lcosα，故此摆周期．

⑵等效重力加速度单摆

该类单摆的等效重力加速度g’≠g，但摆长仍为悬点到球心的距离．“等效重力加速度”等于摆球处于平衡位置不振动时，等效摆长“绳子”上拉力对摆球产生的加速度．

    等效重力加速度g’的求法：先计算摆球不摆动而处于平衡状态时(静止)的摆线拉力F，然后用F与摆球质量之比计算，等效重力加速度g’，即：．

〖例2〗长为L的轻线一端系一质量为m的小球，挂于小车支架上的O点，将小球拉离平衡位置(α<5⁰)由静止释放，当小车以a<g向右加速运动时，如图，摆球的平衡位置偏离竖直θ角，等效摆长不变，摆球在平衡位置时，绳子拉力为F，则：

Fcosθ=mg            ①

    Fsinθ=ma            ②

    解得

图中A点为摆球的平衡位置，悬线拉力产生加速度为：

，

代入公式得周期。

    ⑶摆长、加速度双等效单摆

这类单摆的等效摆长的求法见“等效摆长单摆”的摆长求法，等效重力加速度g’的求法见“等效重力加速度单摆”的g’求法．

〖例3〗如图，是记录地震装置的水平摆示意图，摆球m固定在边长L，质量可忽略的等边三角形顶点A处，它的对边BC与竖直线成不大的角θ，摆球可沿固定轴BC摆动，则摆球做微小振动的周期是多少？

〖解题思路〗

该装置摆动时，沿等效摆长OA方向的摆长OA=Lsin60⁰=，当摆球处在平衡位置且不摆动时，沿等效摆长OA方向等效拉力F=mgsinθ=mg’，即g’=gsinθ，故此摆的周期．